Binômios de Newton

Binômios de Newton

Denomina-se Binômio de Newton , a todo binômio da forma (a + b)n , sendo n um número natural . 

Exemplo: 
B = (3x - 2y)4 ( onde a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binômio] ).

Isaac Newton - físico e matemático inglês(1642 - 1727). 
Suas contribuições à Matemática, estão reunidas na monumental obra Principia Mathematica, escrita em 1687.

Exemplos de desenvolvimento de binômios de Newton :
a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3
c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4 
d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Não é necessário memorizar as fórmulas acima, já que elas possuem uma lei de formação bem definida, senão vejamos:

Vamos tomar por exemplo, o item (d) acima:
Observe que o expoente do primeiro e últimos termos são iguais ao expoente do binômio, ou seja, igual a 5. 
A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos a partir da seguinte regra prática de fácil memorização:

Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos o resultado pela ordem do termo. O resultado será o coeficiente do próximo termo. Assim por exemplo, para obter o coeficiente do terceiro termo do item (d) acima teríamos: 
5.4 = 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo anterior (2 por se tratar do segundo termo) 20:2 = 10 que é o coeficiente do terceiro termo procurado.

Observe que os expoentes da variável a decrescem de n até 0 e os expoentes de bcrescem de 0 até n. Assim o terceiro termo é 10 a3b2 (observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de b cresceu  de 1 para 2).

Usando a regra prática acima, o desenvolvimento do binômio de Newton (a + b)7 será:
(a + b)7 = a7 + 7 a6b + 21 a5b2 + 35 a4b3 + 35 a3b4 + 21 a2b5 + 7 ab6 + b7

Como obtivemos, por exemplo, o coeficiente do 6º termo (21a2b5) ?

Pela regra: coeficiente do termo anterior = 35. Multiplicamos 35 pelo expoente de que é igual a 3 e dividimos o resultado pela ordem do termo que é 5. 
Então, 35 . 3 = 105 e dividindo por 5 (ordem do termo anterior) vem 105:5 = 21, que é o coeficiente do sexto termo, conforme se vê acima.

 

Observações:
1) o desenvolvimento do binômio (a + b)n é um polinômio.
2) o desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos .
3) os coeficientes dos termos eqüidistantes dos extremos , no desenvolvimento de 
(a + b)n são iguais .
4) a soma dos coeficientes de (a + b)n é igual a 2n .

Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton

Um termo genérico Tp+1 do desenvolvimento de (a+b)n , sendo p um número natural, é dado por

http://www.mundovestibular.com.br/materias/matematica/binomeiodenewton_arquivos/fig559.gif
onde

http://www.mundovestibular.com.br/materias/matematica/binomeiodenewton_arquivos/fig560.gif
é denominado Número Binomial e Cn.p é o número de combinações simples de nelementos, agrupados p a p, ou seja, o número de combinações simples de nelementos de taxa p. 
Este número é também conhecido como Número Combinatório.

 

 

Exercícios Resolvidos:

1º) Calcule o 4º termo no desenvolvimento de (2x-1)6.

Solução:
Vamos aplicar a fórmula do termo geral, onde a = -1 , x = 2x e n = 6. Como queremos o quarto termo, fazemos p = 3 na fórmula do termo geral e efetuamos os cálculos indicados. Temos então:

T3+1= T4= (63) (2x)6-3 . (-1)3

          T4= (63) (2x)3 . (-1)3

          T4= 20 . 8x3 . (-1)

           T4= -160x3.

2 - Qual o termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)8 ?

Solução:

Temos a = 2x , b = 3y e n = 8. Sabemos que o desenvolvimento do binômio terá 9 termos, porque
n = 8. Ora sendo A1 A2 A3 A4 AA6 A7 A8 A9 os termos do desenvolvimento do binômio, o termo médio será o A5 (quinto termo). Logo, o nosso problema resume-se ao cálculo do T5 . Para isto, basta fazer p = 4 na fórmula do termo geral e efetuar os cálculos decorrentes. Teremos:

T4+1= T5= (84) (2x)8-4 . (3y)4

          T5= (84) (2x)4 . (3y)4

           T5= 70 . 16x4 . 81y4

           T5= 90720 x4y4

Portanto, o termo médio procurado é: 90720 x4y4.

 

Exercícios Para Praticar

 

 

 1)(CESGRANRIO) O coeficiente de x4 no polinômio P(x) = (x + 2)6 é:

      a) 64

      b) 60

      c) 12

      d) 4

      e) 24

                    RESPOSTA: B

 

 

2) Calcular a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de (3x + 2y)5.

 

                          RESPOSTA:  3125