Desenhos e Aplicações Geométricas

 Para quem serve o desenho geométrico?

A resolução de um problema de construção geométrica, de um modo geral compreende duas etapas:

·         a pesquisa das propriedades e da seqüência de operações que possibilitam realizar a construção;

·         a execução de construção pedida, servindo-se dos instrumentos de desenho.

Pois bem, na primeira etapa lidamos, de forma teórica, com os elementos da Geometria, exigindo-se dos estudantes muito empenho. O estudo do desenho, nessa fase, dará oportunidade de desenvolver o raciocínio lógico- dedutivo, além de despertar a criatividade. Independentemente da área a que vá se dedicar futuramente como profissional, o estudante terá aí um elemento funda- mental na sua formação.

Na segunda etapa, quando se manuseiam os instrumentos, desenvolve-se grandemente o sentido de organização; com freqüência, o estudante então experimenta a sensação de realização, ao ver se concretizarem, no papel, as idéias que possibilitaram a construção.

Especificamente os que pretendem orientar seus estudos para as áreas de Engenharia ou Arquitetura terão no Desenho Geométrico o instrumental necessário ao Desenho Projetivo, que, por sua vez, será muito utilizado nessas profissões.

Para que serve o desenho geométrico?

O Desenho Geométrico é classificado como desenho resolutivo, pois através dele, determinam-se respostas precisas para problemas de natureza prática ou teórica.

Geometria, parte da matemática que estuda as propriedades do espaço. Em sua forma mais elementar, a geometria trata de problemas métricos, como o cálculo da área e do diâmetro de figuras planas e da superfície e volume de corpos sólidos. Outros campos da geometria são a geometria analítica, a descritiva, a topologia, a geometria de espaços com quatro ou mais dimensões, a geometria fractal e a geometria não-euclidiana.

Geometria descritiva primitiva 

Pitágoras e seus discípulos usaram certos axiomas ou postulados e a partir deles deduziram um conjunto de teoremas sobre as propriedades de pontos, linhas, ângulos e planos, como o famoso teorema de Pitágoras. A obra Elementos, de Euclides, serviu como livro de texto básico de geometria quase até os nossos dias.

Primeiros problemas geométricos

Os gregos introduziram os problemas de construção, nos quais certa linha ou figura deve ser construída usando-se apenas uma régua de borda reta e um compasso. Há três famosos problemas de construção que datam da época grega: a duplicação do cubo (construir um cubo cujo volume seja o dobro do de outro cubo preexistente), a quadratura do círculo (construir um quadrado com área igual à de determinado círculo) e a trissecção do ângulo (dividir um ângulo em três partes iguais). Nenhuma destas construções é possível usando-se apenas régua e compasso.

Os gregos, principalmente Apolônio de Perga, estudaram a família de curvas conhecidas como cônicas e descobriram muitas de suas propriedades fundamentais. Arquimedes inventou formas de medir a área de certas figuras curvas, assim como a superfície e o volume de sólidos limitados por superfícies curvas.

Geometria analítica 

A geometria avançou muito pouco desde o final da era grega até a Idade Média. René Descartes, em 1637, forjou uma conexão entre a geometria e a álgebra, ao demonstrar como aplicar os métodos de uma disciplina na outra. Este é um funda- mento da geometria analítica, na qual representam-se as figuras através de expressões algébricas.

Avanços modernos

A geometria sofreu uma mudança radical de direção no século XIX. Gauss, Lobatchevsky e János Bolyai, trabalhando em separado, desenvolveram sistemas coe- rentes de geometria não-euclidiana.
Quase ao mesmo tempo, o britânico Arthur Cayley desenvolveu a geometria para espaços com mais de três dimensões. Outro conceito dimensional, o de dimensões fracionárias, surgiu no século XIX.

Algumas aplicações

Ao se construir uma casa, utilizamos os estudos de figuras planas, por exemplo, quando queremos saber os comprimentos dos cômodos, alturas das paredes, a área que a casa vai ocupar no terreno. Caso a casa tenha piscina, vamos ter o uso dos estudos de figuras geométricas, para calcular o volume que a mesma vai ter, entre outros.

Outro exemplo de figuras geométricas é da esfera, como exemplo podemos citar a Óptica (Física), a secção de uma esfera forma uma lente esférica, que são objetos importantes na construção de óculos. Corpos esféricos possuem grande importância na Engenharia Mecânica, a parte interior de inúmeras peças capazes de realizar movimentos circulares sobre eixos constituída de esfera de aço. Um bom exemplo dessas peças é o rolamento.

Progressão Aritmética e Geométrica

Em matemática financeira, em um regime de capitalização simples o montante aumenta de acordo com uma progressão aritmética, onde o montante sofre uma variação linear em relação aos juros (por exemplo, se a cada período o montante sobe de um valor constante). Já no regime de capitalização composta, o montante varia de acordo com uma progressão geométrica, onde o montante aumenta segundo uma variação exponencial em relação aos juros.

Há também a "Teoria Populacional Malthusiana", que diz que ficaremos sem comida um dia, pois a população cresce em PG enquanto a comida disponível cresce em PA.

Números complexos

Números Complexos e a Física

Há mais de 200 anos, a física e a matemática estão intimamente ligadas no que diz respeito a conjuntos numéricos.

Embora não haja um estudo mais aprofundado, já se sabe que atualmente, na física contemporânea, a aplicação do conjunto dos números complexos é tão grande, que é até possível pensar em uma autêntica " complejificación de la física", como cita o autor Frederico de Rubio y Galy em "The Role of Mathematics in the Rise of Science".

Nesta mesma obra, Dr Frederico dá aos números complexos a idéia de par ordenado: " um par ordenado de números reais, onde suas coordenadas representam a parte real e imaginária do complexo". Assim, apresenta como os números complexos podem multiplicar-se e como é simples a sua representação como vetor.

Fica claro então, como o universo de complexos se expande no mundo da física, onde é utilizado pelos físicos contemporâneos de forma familiar em diversas teorias.

Números complexos e circuitos monofásicos

No estudo de circuitos, a aplicação de números complexos aparece na forma de vetores, que determinam algumas equações importantes, com a presença da unidade imaginária.

Um circuito monofásico é alimentado por uma única tensão alternada. Quando a única dificuldade que a tensão sofre é a resistência efetiva, o circuito é dito puramente resistivo. Nesse circuito, a tensão Er e a intensidade de corrente I atingem valores correspondentes ao mesmo tempo, o que faz com que os seus vetores representativos fiquem sobre o eixo de referência. Dizemos então que as grandezas estão em fase.