Progressão Aritmética (P.A.)

 Progressão aritmética é um tipo de seqüência numérica que a partir do segundo elemento cada termo (elemento) é a soma do seu antecessor por uma constante. 

(5,7,9,11,13,15,17) essa seqüência é uma Progressão aritmética, pois os seus elementos são formados pela soma do seu antecessor com a constante 2. 

a₁ = 5 
a₂ = 5 + 2 = 7 
a₃ = 7 + 2 = 9 
a₄ = 9 + 2 = 11 
a₅ = 11 + 2 = 13 
a₆ = 13 + 2 = 15 
a₇ = 15 + 2 = 17 

Essa constante é chamada de razão e representada por r. Dependendo do valor de r a progressão aritmética pode ser crescente, constante ou decrescente. 
P.A crescente: r > 0, então os elementos estarão em ordem crescente. 

P.A constate: r = 0, então os elementos serão todos iguais. 

P.A decrescente: r < 0, então os elementos estarão em ordem decrescente. 

Termo Geral de uma P.A 

Considere uma P.A finita qualquer (a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a_n) de razão igual a r, sabemos que: 

a₂ – a₁ = r → a₂ = a₁ + r 
a₃ – a₂ = r → a₃ – a₁ – r = r → a₃ = a₁ + 2r 
a₄ – a₃ = r → a₄ – a₁ – 2r = r → a₄ = a₁ + 3r 
… 

a n = a₁ + (n – 1) . r 

Portanto o termo geral de uma P.A é calculado utilizando a seguinte fórmula: 

a n = a₁ + (n – 1) . r 

Exemplo 1: 
Calcule o 16º termo de uma P.A, sabendo que a₁ = -10 e r = 3. 

an = a₁ + (n – 1) . r 
a₁₆ = -10 + (16 – 1) . 3 
a₁₆ = -10 + 15 . 3 
a₁₆ = -10 + 45 
a₁₆ = 35 

O 16º termo de uma P.A é 35. 

   Soma dos termos de uma P.A finita 

Se tivermos uma P.A finita qualquer, para somarmos os seus termos (elementos) chegaremos à seguinte fórmula para somarmos os n elementos de uma P.A finita. 

 Sn = (a1 + an) . n 
                   2 

Exemplo 2: 

Determine uma P.A sabendo que a soma de seus 8 primeiros termos é 324 e que 
a ₈ = 79. 

Retirando os dados: 
n = 8 
Sn = 324 
a ₈ = 79 

Sn = (a1 + an) . n 
                2 

324 = (a1 + 79) . 8 
                     2 

324 . 2 = 8 a1 + 79 . 8 
648 = 8 a1 + 632 
16 = 8 a1 
a1 = 2 

Precisamos encontrar o valor de r (razão) para encontrar o valor dos outros elementos. 

a n = a₁ + (n – 1) . r 
79 = 2 + (8 – 1) . r 
79 = 2 + 7 . r 
79 – 2 = 7r 
77 = r
 7
r = 11

Exercícios Resolvidos

1) Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 11, calcule o 13^o termo:

- Primeiro devemos coletar todas informações do problema:
          a₁=5     r=11    a₁₃=?
        - Para calcular vamos utilizar a fórmula do termo geral, onde a_n será o a₁₃, portanto n=13. Agora, substituindo:

        a₁₃ = 5 + (13 - 1).11
        a₁₃ = 5 + (12).11
        a₁₃ = 5 + 132
         a_{13 = 137}

 2) Interpole 11 meios aritméticos entre 1 e 37.

PA (1, _, _, _, _, _, _, _, _, _, _, _,37)
Dados: a₁ = 1 ; r = ? ; a_n = a₁₃ = 37 ; n = 13 

Resolução: a_n = a₁ + (n-1). r
a₁₃ = 1 + (13-1). r ==> 37 = 1 + 12.r ==> 37 -1 = 12r ==> 36 = 12r ==> 36/12 = r ==> 3 = r

Calculamos as 11 interpolações:

a₂ = a₁ + r ==> a₂ = 1+3 = 4
a₃ = a₂ + r ==> a₃ = 4+3 = 7
a₄ = a₃ + r ==> a₄ = 7+3 =10
a₅ = a₄ + r ==> a₅ =10+3 =13
a₆ = a₅ + r ==> a₆ =13+3 =16
a₇ = a₆ + r ==> a₇ =16+3 =19
a₈ = a₇ + r ==> a₈ =19+3 =22
a₉ = a₈ + r ==> a₉ =22+3 =25
a₁₀ = a₉+ r ==> a₁₀ =25+3 =28
a₁₁ = a₁₀+ r ==> a₁₁ =28+3 =31
a₁₂ = a₁₁+ r ==> a₁₂ =31+3 =34

Resposta: a_n = PA (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37)

Exercícios Para Praticar

 1) Quantos termos tem uma P.A. finita, de razão 3, sabendo-se que o primeiro termo é -5 e o último é 16 ?

Resposta: n = 8

2) Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no km 3 e outro no km 88. Entre eles serão colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância. Determine em quais marcos quilométricos deverão ficar esses novos telefones.

Resposta: km 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58, 63, 68, 73, 78, 83.